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多边形训练题4-2019山东夏令营
一道向量法解平行四边形的问题
本题为山东2019年夏令营的题目, 难度不大但是抛开三弦定理的话, 咀嚼起来也挺有味道的...
题目标签: 共圆类- 平四+垂直- 2019山东夏令营
知识储备: 无
题目难度: 高联1-2
题目如下:
平行四边形, 对角线交于点, 在上的投影为, 交于, 交于, 求证: 四点共圆.
分析:
本题答案直接用三弦定理证明, 笔者不再赘述, 有兴趣的可以自己尝试一下;
本题中两个垂直的关系结合平行四边形, 能注意到与互补, 故再做一个平行四边形, 结合, 下面只需要证明三点共线即可;
证明: 取点满足为平行四边形,
下面证明, 采用向量法:
设, 分别为在和上的投影,
, , , .
则,
,
故
注意到
故
(为底边中点)
故=0$, 证毕!
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